【技術(shù)專區(qū)】LED 封裝器件芯片結(jié)溫測(cè)試淺述（下）

　　大家應(yīng)該還記得在《LED 封裝器件芯片結(jié)溫測(cè)試淺述(上)》里面我們有提及到 “電流跳變”的瞬態(tài)測(cè)試方法，如果我們?cè)谔冎蟛粩嗟夭杉妷盒盘?hào)，直到器件冷卻到環(huán)境溫度，我們就可以得到LED在降溫過程中它的電壓隨時(shí)間的變化曲線，又因?yàn)檫@些電壓變化都是在測(cè)試電流下得到的，我們只需要把電壓信號(hào)除以K系數(shù)就可以得到溫度變化隨時(shí)間的曲線(因?yàn)閗=Δv/Δt)，溫度變化曲線如圖1所示：

圖1 溫度變化-時(shí)間曲線

　　時(shí)間對(duì)數(shù)化

　　事實(shí)上，圖1中的時(shí)間軸是經(jīng)過對(duì)數(shù)化處理的，因?yàn)閷?shí)際進(jìn)行采樣時(shí)我們是得益于設(shè)備的高速采樣可以在1μs(即10^-6s)后采集到第一個(gè)電壓的變化值，但采樣總時(shí)間的數(shù)量級(jí)一般都在1s～10³s范圍內(nèi)，時(shí)間的數(shù)量級(jí)跨度大而且時(shí)間越往后溫度變化就越慢，數(shù)據(jù)的重要度也隨之降低，因此在數(shù)據(jù)處理時(shí)我們把時(shí)間進(jìn)行對(duì)數(shù)化處理。時(shí)間對(duì)數(shù)化后的曲線如圖2b所示。

圖2a溫度變化響應(yīng)曲線 圖2b溫度變化響應(yīng)曲線(時(shí)間對(duì)數(shù)化后)

　　對(duì)比圖2a和圖2b可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)數(shù)前處理前的數(shù)據(jù)變化不直觀，對(duì)數(shù)化處理后卻能把瞬態(tài)切換后幾微秒內(nèi)的溫度變化充分表示出來。后文在計(jì)算中也要用到時(shí)間對(duì)數(shù)化的推導(dǎo)。

　　這次我們就用這個(gè)曲線來獲得我們神奇的結(jié)構(gòu)函數(shù)。首先要介紹一下：

　　阻容網(wǎng)絡(luò)的物理模型

　　首先，我們需要構(gòu)造一個(gè)導(dǎo)熱的模型。不如先從簡單開始，假設(shè)熱源到環(huán)境的導(dǎo)熱只有一個(gè)路徑，而且是一種材料，這種材料是各向同性而且形狀規(guī)則，有一定的熱阻與熱容，習(xí)慣上我們也同樣用電阻電容的符號(hào)來代表熱阻和熱容，熱源從材料的左表面流到右表面(環(huán)境)，如圖3所示。

圖3熱傳導(dǎo)模型圖示及RC網(wǎng)絡(luò)

　　在這個(gè)簡單的模型里，我們看到這樣的一個(gè)RC(阻容)網(wǎng)絡(luò)，如圖4，在這個(gè)網(wǎng)絡(luò)里，熱源當(dāng)作一個(gè)恒流源，而熱阻與熱容并聯(lián)到環(huán)境，我們稱之為一階RC網(wǎng)絡(luò)。

圖4 一階RC網(wǎng)絡(luò)

　　在數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域，通常都是利用一個(gè)系統(tǒng)的響應(yīng)再把系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分析出來。所謂響應(yīng)就是系統(tǒng)在某一特定信號(hào)源的激勵(lì)下產(chǎn)生的反應(yīng)(輸出特性)，比如有人在你身后喊了一聲你的名字，有的人會(huì)回頭望而有的人不回頭只是應(yīng)了一聲。不同的系統(tǒng)會(huì)有不同的響應(yīng)，同一個(gè)系統(tǒng)在不同信號(hào)的激勵(lì)下也會(huì)有不同的響應(yīng)。

　　現(xiàn)在我們把這個(gè)一階RC網(wǎng)絡(luò)看成一個(gè)系統(tǒng)，那要用什么信號(hào)做激勵(lì)呢?其實(shí)文初我們提到的“電流跳變”就可以做為一個(gè)信號(hào)源，一般我們把這種電流跳變信號(hào)稱為單位階躍信號(hào)，因?yàn)樗男盘?hào)就像臺(tái)階一樣突然從低跳到高(或從高到低)，那這個(gè)系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)激勵(lì)下的響應(yīng)是怎樣的呢?

　　如果輸入信號(hào)是單位階躍信號(hào)，則這個(gè)系統(tǒng)的響應(yīng)我們簡稱為該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。

　　那么一階RC網(wǎng)絡(luò)的單位階躍響應(yīng)為

圖5 一階RC網(wǎng)絡(luò)及對(duì)應(yīng)的時(shí)間常數(shù)圖

　　式1中的 τ我們稱為時(shí)間常數(shù)，它是信號(hào)處理領(lǐng)域里的常用的表征時(shí)間的物理量，其量綱單位和時(shí)間一樣，也是秒[s]。時(shí)間常數(shù)的含義是指某物理量從最大值衰減到最大值的1/e(或從最小值增加到最大值的1-1/e倍)所需要的時(shí)間，比如一個(gè)滿電荷的電容兩端并聯(lián)一個(gè)電阻，那么電容兩端的電壓從最大值放電到最大值的1/e倍所花的時(shí)間就是 。

　　這里我們稱τ為“熱時(shí)間常數(shù)”以示區(qū)分，因?yàn)樗淼氖菬嶙枧c熱容的乘積。

　　現(xiàn)在我們把結(jié)構(gòu)的數(shù)量從1個(gè)升級(jí)到n個(gè)，那么就會(huì)變成n階RC網(wǎng)絡(luò)，如圖6所示。

圖6 n階RC網(wǎng)絡(luò)

　　其對(duì)應(yīng)的單位階躍響應(yīng)為

　　一般我們把這種結(jié)構(gòu)的RC網(wǎng)絡(luò)稱為n階福斯特(Foster)結(jié)構(gòu)，其對(duì)應(yīng)的熱時(shí)間常數(shù)譜如圖7所示。

圖7 n階福斯特結(jié)構(gòu)的熱時(shí)間常數(shù)圖

　　實(shí)際上，材料與材料之間的交接界面是同樣存在熱阻與熱容的，器件各材料之間也不可能完全看成獨(dú)立成單一的熱阻熱容，我們應(yīng)該認(rèn)為熱阻與熱容的變化是連續(xù)的，于是我們需要把這個(gè)離散的多項(xiàng)式進(jìn)行連續(xù)化處理，也就是當(dāng)n趨向于正無窮的時(shí)候，可把(式2)改為

　　(式3)中的R（τ）稱為時(shí)間常數(shù)譜函數(shù)，我們用連續(xù)的R（τ）來取代離散的R_thi 。它的時(shí)間常數(shù)圖為連續(xù)譜圖，如圖8所示。

圖8 連續(xù)譜圖

　　(式3)這個(gè)公式代表的就是一個(gè)連續(xù)RC網(wǎng)絡(luò)的單位階躍響應(yīng)。

　　看回文初的圖1b溫度變化曲線，事實(shí)上這個(gè)曲線在對(duì)數(shù)化處理前對(duì)應(yīng)的表達(dá)式就是

　　求解熱時(shí)間常數(shù)譜函數(shù)

　　我們?cè)倏椿豏（τ），其實(shí)如果我們知道了R（τ）的表達(dá)式，那么我們就相當(dāng)于知道了這個(gè)系統(tǒng)的熱阻和熱容的關(guān)系，也就是知道了這個(gè)系統(tǒng)(福斯特網(wǎng)絡(luò))的所有結(jié)構(gòu)。那么為了得到我們系統(tǒng)的熱阻熱容結(jié)構(gòu)，下面就開始把R（τ）求出來：

　　觀察右邊的形式，其實(shí)就是信號(hào)處理里最常見的卷積形式，即

　　到這里我們就得到了R（τ）的解析式，離結(jié)構(gòu)還差一步之遙!

　　我們看看(式9)，W_z（Z）是已知的可積函數(shù)，d／dz·a（z）是單位階躍響應(yīng)(時(shí)間對(duì)數(shù)化后)的微分，也就是導(dǎo)數(shù)，我們都可以用計(jì)算機(jī)算出來。剩下的就只有反卷積運(yùn)算了。反卷積運(yùn)算的方法有很多，比如有貝葉斯反卷積法以及傅利葉頻域反卷積法，都是很成熟的算法，這里要涉及的知識(shí)較多，就不一一展開了。

　　現(xiàn)在我們得到了R（z）——熱時(shí)間常數(shù)譜函數(shù)，它實(shí)際的圖像如圖9所示。

圖9 實(shí)際樣品的熱時(shí)間常數(shù)譜圖

　　這個(gè)函數(shù)圖像就是經(jīng)過上述的數(shù)學(xué)變換及數(shù)學(xué)運(yùn)算得出來的，我們下面就利用這個(gè)函數(shù)把熱阻熱容結(jié)構(gòu)剖析出來。

　　從圖里我們可以明顯看出對(duì)應(yīng)不同的 其幅值有不同起伏變化，表現(xiàn)出一定的離散性，我們就由此來定義這個(gè)熱時(shí)間常數(shù)譜函數(shù)：

　　簡單來說就是把這個(gè)函數(shù)切成無數(shù)個(gè)小塊，把這些小塊都拼接起來就是R（ζ）了。而這每一個(gè)小塊就是對(duì)應(yīng)1階福斯特結(jié)構(gòu)，如圖10所示。

圖10 熱時(shí)間常數(shù)譜函數(shù)圖像與n階福斯特網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)關(guān)系

　　根據(jù) 的定義，我們可以得到

　　福斯特-考爾網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)換

　　很多讀者應(yīng)該會(huì)認(rèn)為到這里已經(jīng)結(jié)束了，但事實(shí)上，這只是對(duì)應(yīng)福斯特網(wǎng)絡(luò)的熱阻熱容值，

　　而在福斯特網(wǎng)絡(luò)這個(gè)模型里的熱容是節(jié)點(diǎn)到節(jié)點(diǎn)的熱容值，它與器件的實(shí)際情況不一致，是沒有對(duì)應(yīng)的物理意義的。為什么呢?這里我們把這個(gè)小問題留給大家(提示：用電容來舉例，假如一個(gè)系統(tǒng)由若干個(gè)電容串聯(lián)，系統(tǒng)的總?cè)葜蹬c各個(gè)電容的關(guān)系怎么算?)。因此福斯特結(jié)構(gòu)并不適合描述我們半導(dǎo)體器件的熱阻熱容特性。

　　雖然福斯特結(jié)構(gòu)不適合用來描述我們實(shí)際器件的情形，但有另一種結(jié)構(gòu)卻可以與它相互轉(zhuǎn)換，這個(gè)結(jié)構(gòu)我們稱為考爾(Cauer)結(jié)構(gòu)，如圖11所示。

圖11 a)福斯特結(jié)構(gòu);b)考爾結(jié)構(gòu)

　　福斯特結(jié)構(gòu)與考爾結(jié)構(gòu)對(duì)于單端無源RC網(wǎng)絡(luò)都是等價(jià)的，因?yàn)樗麄兛梢韵嗷マD(zhuǎn)換，但考爾結(jié)構(gòu)與我們談到的器件的熱阻熱容結(jié)構(gòu)可以說是完全吻合，我們之所以談了這么多福斯特結(jié)構(gòu)是因?yàn)樗臅r(shí)間常數(shù)計(jì)算是一種很優(yōu)秀的數(shù)學(xué)手段，同時(shí)減少了很多復(fù)雜的計(jì)算。

　　由于篇幅有限，這兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)換過程我們這里就不做多述了，經(jīng)過轉(zhuǎn)換之后我們會(huì)得到的R_thi和C_thi的新的表達(dá)形式。

　　繪制結(jié)構(gòu)函數(shù)

　　我們得到了考爾網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)下的熱阻R_thi和熱容C_thi，但這些參數(shù)都不能直觀地表示出來，我們現(xiàn)在用圖3構(gòu)造的模型把這個(gè)阻容結(jié)構(gòu)表示出來，如圖12所示。

圖12 理想一維熱傳導(dǎo)模型

　　圖12中： 表示平行于熱流路徑的材料厚度;A表示垂直于熱流路徑的材料橫截面積; 表示材料的熱導(dǎo)率; 表示單位體積的熱容值。我們可以得出總熱阻與總熱容的表達(dá)式：

　　利用(式13)與(式14)，與考爾網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)下的熱阻R_thi和熱容C_thi結(jié)合，我們就得到我們苦苦追求的結(jié)構(gòu)函數(shù)，如圖13所示：

圖13 考爾結(jié)構(gòu)與結(jié)構(gòu)函數(shù)的對(duì)應(yīng)

　　至此我們對(duì)結(jié)構(gòu)函數(shù)的推導(dǎo)終于結(jié)束了～

　　在最后，我們?cè)侔颜麄€(gè)推導(dǎo)用流程圖的方式展示出來，如圖14所示：

圖14 結(jié)構(gòu)函數(shù)推導(dǎo)流程圖