自由曲面光學(xué)是照明行業(yè)在光線重定向到目標區(qū)域方面的改變者。非均勻有理B樣條，通常稱為NURBS廣泛用于表示自由曲面和曲面。有一些光學(xué)系統(tǒng)需要在設(shè)計或優(yōu)化階段對表面進行局部修飾。在這種情況下，NURBS不能提供這種轉(zhuǎn)換。但是一個叫做T-splines的新數(shù)學(xué)表達式使得這是可行的。雖然它的潛力已被很好地描述，但迄今為止尚未在任何優(yōu)化程序中實施。Annie Shalom Isaac，來自卡爾斯魯厄理工學(xué)院的Jiayi Long和Cornelius Neumann通過在優(yōu)化程序中執(zhí)行T型樣條證明了局部細化能力的優(yōu)勢，并對結(jié)果進行了評估。結(jié)果表明，與NURBS相比，T樣條提供更均勻和均勻的光分布，且收斂速度更快。這使得使用T樣條的光學(xué)設(shè)計或優(yōu)化成為未來自由形式設(shè)計任務(wù)的直觀方法。
3x3 OFFD柵格在（左）和（右）變形之前和之后包圍和光學(xué)表面
自由形式光學(xué)器件的設(shè)計在很大程度上依賴于以下方法之一：基于點源假設(shè)[3]，SMS設(shè)計[4]和基于等通量網(wǎng)格[5]的源目標圖的裁剪以創(chuàng)建初始光學(xué)表面。由于這些數(shù)學(xué)方法不能保證為擴展的LED光源提供準確的結(jié)果，也不能提供通用的解決方案，光學(xué)設(shè)計師仍然依靠任何優(yōu)化工具來改善結(jié)果。光線跟蹤算法中的速度提高以及復(fù)雜的智能優(yōu)化算法使優(yōu)化方法的應(yīng)用更加廣泛。但自由曲面優(yōu)化的缺點主要是由于其復(fù)雜的數(shù)學(xué)表達和許多參數(shù)的存在。
Wendel et.al提出了一種稱為優(yōu)化的方法，使用自由形變（OFFD）來克服這一困難，將光學(xué)表面置于網(wǎng)格中并使封閉的網(wǎng)格變形而不是直接作用于網(wǎng)格[1]。這種方法使用NURBS來表示光學(xué)表面，其結(jié)果表明，使用較少的優(yōu)化變量，它們可以很好地實現(xiàn)全局變形，這使得制造更容易。但是有些情況下需要在光線分布上有明顯的傾斜，或者光線的路徑必須顯著改變。在這種情況下，輕微的局部變形會帶來顯著的改善。但是對于目前的OFFD，這是不可能的，因為下面的表面表示。稱為T樣條的另一種表面表示法可以克服這個缺點[2]。Bailey等人。al已經(jīng)證明了T-splines的潛力及其在光學(xué)表面的應(yīng)用[6]。但是迄今為止，這種方法既未應(yīng)用于任何優(yōu)化程序，也未對其光學(xué)性能進行分析并與NURBS進行比較。
因此，這項工作考慮了這個問題，并提供了解決這個問題的替代方法。第2部分介紹了OFFD技術(shù)。光學(xué)表面的數(shù)學(xué)表面表示在第3節(jié)中介紹.T樣條的實現(xiàn)結(jié)果和比較結(jié)果在第4節(jié)中顯示，隨后在第5節(jié)中給出結(jié)論。
使用OFFD進行優(yōu)化
OFFD方法采用Sederberg [7]提出的自由變形（FFD）技術(shù)，并結(jié)合優(yōu)化程序。網(wǎng)格和光學(xué)表面之間的關(guān)系使用FFD算法很好地建立[7]。圖1顯示了在變形之前和之后具有光學(xué)表面的網(wǎng)格。為了簡潔起見，只介紹OFFD方法的概述。
圖1： 一個3x3 OFFD網(wǎng)格包圍和光學(xué)表面（左）和之后（右）變形
該算法首先選擇一個輸入表面，其光學(xué)性能必須得到改善，這通常遠離目標。通過這種方法，光學(xué)表面被包圍在包含27個網(wǎng)格控制點的網(wǎng)格內(nèi)，并且用戶可以從它們中選擇任何組合。這作為變量提供給優(yōu)化算法。優(yōu)化算法對于選定的網(wǎng)格點組合具有廣泛的搜索空間，并提供沿三維向封閉網(wǎng)格的移動。隨著封閉的網(wǎng)格發(fā)生變化，它也會改變內(nèi)部的光學(xué)表面。然后對變形后的表面進行光度評估，優(yōu)化算法根據(jù)此結(jié)果決定其優(yōu)化變量的變化。該算法一再重復(fù)，直至達到目標照明要求。
圖2：自由形變優(yōu)化的工作流程（OFFD）
這個程序中最重要的一步是定義變形光學(xué)表面的品質(zhì)因數(shù)，因為整個優(yōu)化是基于這個單一的值Q.在本文中，我們使用兩個不同的評價函數(shù)。
偏差評價函數(shù)Qdev，其對應(yīng)于當(dāng)前模擬分布與期望分布的偏差并被表示為
G是人們感興趣的區(qū)域，Eideal（x）是期望的照度分布目標，E（x）是當(dāng)前的光分布。
通量擇優(yōu)函數(shù)Q 磁通對應(yīng)于最大化，其中被量化為在目標（Φ通量的比率所需的目標區(qū)域中的通量噸），并通過光學(xué)器件收集φC可用通量。
光學(xué)表面的數(shù)學(xué)表示
NURBS
NURBS技術(shù)非常成熟，可用于計算機輔助圖形系統(tǒng)以及光線追蹤器。由于其靈活性，可以通過在優(yōu)化程序期間更改控制點或其重量來輕松操縱或修改曲面。NURBS曲面是參數(shù)張量積曲面，定義如下：
其中P ij是控制點的矩形陣列，其中P ij是（n + 1）×（m + 1）矩陣，wi，j是權(quán)重，N ip（u）和N jq（v） v方向，分別與結(jié)矢量相關(guān)聯(lián)。
其中r = p + n + 1和s = m + q + 1成立。當(dāng)必須在NURBS中添加控制點時，使用結(jié)插入方法完成控制點。添加單個節(jié)點需要添加整列或一排控制點。使用NURBS也不可能去除結(jié)頭，而不會改變幾何形狀。這種局部細化主要限于NURBS，因為它的張量產(chǎn)品結(jié)構(gòu)如EQ3所示。如圖3所示，NURBS曲面被逐列水平和垂直逐行地重復(fù)。為了滿足這種平衡，如果增加一個新的控制點，則同時添加整列或一行控制點。
圖3： 顯示初始5x5 NURBS補?。ㄗ螅┑氖纠?，修改如何使用NURBS（中）和T樣條（右）添加沿行和列的控制點時，
T樣條
由NURBS強加的缺點可以通過稱為T樣條的自由曲面的替代數(shù)學(xué)表示來解決。T型樣條概括了B樣條，通過向圖3中相關(guān)的B樣條添加T型接點，將特定的行和列參數(shù)分配給特定的控制點。這使得T樣條在局部變形中是一種更先進的技術(shù)，不需要的控制點。T樣條是基于點而不是基于網(wǎng)格的張量積B-樣條。控制網(wǎng)格稱為T網(wǎng)格，T樣條曲面的定義由下式給出
其中P i是控制點。N i（u，v）是基本函數(shù)，由下式給出
基本函數(shù)N ui（u）和N vi（v）分別與結(jié)向量相關(guān)聯(lián)
當(dāng)一個人插入一個新的控制點或一個結(jié)時，其他控制點之間的間隔必須被改進而不會改變其形狀。這是通過滿足EQ6分別對兩個單變量基函數(shù)N ui（u）和N vi（v）進行細化來完成的。這種局部細化的性質(zhì)不會增加控制點的數(shù)量，也不會改變幾何圖形使T型樣條自然成為在OFFD中實現(xiàn)并實現(xiàn)局部變形的理想選擇。
圖4：初始光學(xué)表面分成6個部分（左側(cè)）和帶有編號控制頂點的OFFD網(wǎng)格（右側(cè)）準備局部變形
T形樣條在OFFD中的應(yīng)用
最后一節(jié)介紹了T樣條的理論背景和在局部變形中使用它的優(yōu)點。本節(jié)介紹T形樣條在第2節(jié)簡要介紹的自由形變系統(tǒng)優(yōu)化程序中的應(yīng)用。在我們的例子中，我們使用了與[1]中使用的設(shè)計路燈透鏡相同的光學(xué)設(shè)計任務(wù)。將具有100流明的Cree XPG2 LED用作光源，并且優(yōu)化前的初始表面如圖4所示。為了評估光度性能，應(yīng)用等式1和2中表達的評價函數(shù)。
要在OFFD中開始T-spline實現(xiàn)，必須在所需區(qū)域添加更多控制點，并且曲面形狀保持不變。在更多和更密集的控制點聚集的區(qū)域內(nèi)實現(xiàn)更多的局部變形。然后進行研究以發(fā)現(xiàn)變形過程對透鏡的哪個部分更多的影響，以及如果該部分上的敏感局部變形導(dǎo)致更好的結(jié)果。
整個光學(xué)表面分為六個部分，如圖4所示。此步驟基于直觀的假設(shè)。y方向的對稱性是由于目標街道和燈停留在y方向的中間（圖5）。為了直接比較，選擇網(wǎng)格點[1,3,13,15]。更多的控制點被添加到從1到6的每個片段中。最后，生成了六個新的光學(xué)曲面。這些生成的新T樣條曲面與初始曲面之間的唯一區(qū)別是控制點數(shù)量的差異。光學(xué)元件的形狀保持不變，如預(yù)期的那樣沒有任何變化。這些光學(xué)表面一個接一個地作為OFFD的初始表面，并使用所描述的優(yōu)點函數(shù)進行評估。初步的結(jié)果表明，當(dāng)更多的控制點被添加到分段5時，可以看到對光分布的更多影響。因此，在分段5處具有更多控制點并且在其余分段處具有更少控制點的光學(xué)表面被視為優(yōu)化的初始系統(tǒng)并且與NURBS進行比較。然后將這個結(jié)果與基于NURBS的OFFD進行比較，并在下一節(jié)討論結(jié)果。
圖5： 極距為10 m，極高6 m，與道路距離為1 m的街道照明設(shè)備示意圖。黃色矩形顯示要照亮的區(qū)域[1]
初始系統(tǒng)
的性能初始表面的光學(xué)性能如圖6所示，只有目標內(nèi)部總通量的15％，并且分布形狀遠離需要的標記為白色的矩形分布。
圖6： 左側(cè)顯示的初始表面的目標街道區(qū)域（白色矩形框）的照度分布
圖7： 使用偏差評價函數(shù)的T樣條曲線（b）基于通量的評價函數(shù)（c）使用基于偏差的NURBS和（d）基于通量的評價函數(shù)的使用T樣條的第五部分上具有更多控制點的路燈透鏡的照度分布
NURBS與T樣條的比較
用于比較用于分析街道照明鏡頭的NURBS和T-splines的兩個重要光度測量方法是目標中的總光通量，并且均勻照明分布在目標上。NURBS和T-splines在同一水平上執(zhí)行目標中的總光通量，發(fā)現(xiàn)其為55％，如圖7b和7d所示，產(chǎn)生40％的改善（Δn）。但是T樣條在根據(jù)需要塑造目標分布方面的表現(xiàn)要優(yōu)于圖7a中的模擬結(jié)果。如圖7b所示，使用T樣條的照度分布比具有NURBS的分布更均勻。使用NURBS和T樣條的變形光學(xué)曲面如圖8所示。略微不同的是在邊緣附近的T型樣條，在圖4中標記為段5。
圖8： 使用OFFD NURBS（左），T-splines（中）和NURBS和T-splines（右）之間的形狀變化的假色表示形成的光學(xué)曲面變形
如果使用NURBS需要獲得相同的結(jié)果，則網(wǎng)格中的控制點對用戶的選擇更為敏感。當(dāng)準確選擇時，可以獲得這些結(jié)果，但代價是優(yōu)化的運行時間很長 - 幾乎是使用T樣條所需時間的兩倍。使用T樣條的最大優(yōu)點是當(dāng)用戶知道光學(xué)表面的局部變形部分時，他可以對網(wǎng)格中控制點的選擇產(chǎn)生最小的困擾。
結(jié)論
這項工作突出了T形樣條的使用，通過在優(yōu)化程序中首次實現(xiàn)光學(xué)曲面的局部變形。結(jié)果表明，使用T樣條可以獲得比NURBS更均勻的光分布。當(dāng)使用T型樣條時，F(xiàn)FD網(wǎng)格點的靈敏度會降低。這對智能優(yōu)化系統(tǒng)非常重要。由于T樣條曲線是一個更高級的曲面表示，它仍然還不成熟。CAD技術(shù)和光線追蹤器還未達到導(dǎo)入的程度，并且直接使用T-splines文件格式。所以在本文發(fā)表時，人們?nèi)匀恍枰揽縏樣條向NURBS的前后轉(zhuǎn)換來執(zhí)行光線追蹤。另一個限制因素，但并不是很大，因為控制點必須在需要的地方更精確地加入。
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